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分布

正規分布,ガウス分布 normal distribution,gaussian distribution

$\origin{Lange:Biostatistics.3ed}{p.76}$ , $\origin{統計入門}{p.142}$ , $\origin{LISP-STAT}{p.173}$ , $\origin{Lisp-Statによる統計解析入門}{p.48}$

概念
正規分布は、同じ道具を用いて同じ物理学的な対象物を繰り返し測定したときの値の分布であり、値の散布度は確率変動のみとなる。
平均と標準偏差によって記述できる。
- 標準正規分布
  - 標準正規分布の確率密度関数 probability density function, PDF
    
    $\displaystyle \phi (z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \times exp(-\frac{z^2}{2})$ (37)
  - 標準正規分布の累積分布関数 cummulative density function, CDF
    
    $\displaystyle \Phi (z) = \int^z_{-\infty} \phi (t) dt$ (38)
プログラミング言語
- xlisp
  - NORMAL-CDF 標準正規分布の累積密度関数
    Args: (x) Returns the value of the standard normal distribution function at X. Vectorized.
  - NORMAL-DENS 標準正規分布の密度関数
    Args: (x) Returns the density at X of the standard normal distribution. Vectorized.
  - NORMAL-QUANT
    Args (p) Returns the P-th quantile of the standard normal distribution. Vectorized.
  - NORMAL-RAND
    Args: (n) Returns a list of N standard normal random numbers. Vectorized.
  - NORMAL2-RAND
    2変量正規乱数 n:発生される乱数の個数 rho:相関係数
- calc
  The `utpn(x,m,s)' function uses a normal (Gaussian) distribution with mean `m' and standard deviation `s'. It is the probability that such a normal-distributed random variable would exceed `x'.

χ2乗分布

$\origin{疫学}{p.234}$ , $\origin{統計入門}{p.167}$ , $\origin{StatisticalMethodsInEpidemiology}{p.10}$

概念
標準正規分布から独立に抽出したn個の標本を2乗したものの合計は、自由度nのχ2乗分布に従う。

t分布 t-distribution

$\origin{Lange:Biostatistics.3ed}{p.84,p.98}$ , $\origin{IntroductionToProbabilityAndStatistics}{p.262}$ , $\origin{統計入門}{p.168}$ , $\origin{統計処理}{p.32}$ , $\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.36}$

概念
ガンマ関数 $\Gamma$ ,自由度 df としたとき、t分布の確率密度関数 f(x) は、

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{df \pi}} \times \frac{\Gamma (\frac{df+1}{2})}{\Gamma (\frac{df}{2})} \times \frac{1}{(1+\frac{x^2}{df})^\frac{df+1}{2}}$ (39)

母集団の標準偏差が既知の場合
母集団の標準偏差 $\sigma$ を用いて標準化する。

$\displaystyle z = \frac{\overline{x} - \mu} {\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ (40)

その値 z は、標準正規分布に従う。
母集団の標準偏差が未知の場合
標本集団の標準偏差 s を用いて標準化する。

$\displaystyle z = \frac{\overline{x} - \mu} {\frac{s}{\sqrt{n}}}$ (41)

その値 z は、自由度 n - 1 の t分布に従う。

F分布

$\origin{統計入門}{p.168}$ , $\origin{Lisp-Statによる統計解析入門}{p.70}$ , $\origin{IntroductionToProbabilityAndStatistics}{p.345}$

指数分布 exponential distribution

ガンマ分布 gamma distribution

$\origin{ProbabilityAndStatisticsForEngineers.4ed}{p.156}$ , $\origin{C言語による数値計算のレシピ}{p.169}$

概念
- ガンマ関数
  
  $\displaystyle \Gamma (x) = \int^\infty_0 t^(x-1)\times e^(-t) dt$ (42)

二項分布 binomial distribution

$\origin{Lange:Biostatistics.3ed}{p.74}$ , $\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.117}$ , $\origin{疫学}{p.233}$ , $\origin{統計入門}{p.132}$ , $\origin{IntroductionToProbabilityAndStatistics}{p.65}$ , $\origin{多変量解析による臨床研究}{p.13}$

特徴
- 2種類の結果をとる現象に当てはまる分布
- 集団における疾病の有病率は二項分布に従う
- 標本サイズが十分に大きい場合は、二項分布は正規分布に近似する。
数式

$\displaystyle f(x)_{n,p} = {}_n C_x \times p^x (1-p)^{n-x}$ (43)

ただし、nは標本数、pは事象Aが生じる確率、xは事象Aが生じた回数。
xlisp
(BINOMIAL-PMF x n p)
calc
The `k B' (`calc-utpb') [`utpb'] function uses the binomial distribution. Push the parameters N, P, and then X onto the stack; the result (`utpb(x,n,p)') is the probability that an event will occur X or more times out of N trials, if its probability of occurring in any given trial is P. The `I k B' [`ltpb'] function is the probability that the event will occur fewer than X times.

一様分布 uniform distribution

すべての結果が等確率で起きる分布。

ポワソン分布 poisson distribution

$\origin{Lange:Biostatistics.3ed}{p.76}$ , $\origin{統計入門}{p.137}$ , $\origin{IntroductionToProbabilityAndStatistics}{p.75}$ , $\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.117p.119}$

概念
試行回数nが大きく、母比率pが小さいとき、二項分布はポアソン分布に近似できる。すなわち1回の試行である事象の生起する確率が十分に小さい場合の確率現象によく適合する。
特徴
数式

$\displaystyle p(x) = \frac{\mu^{x} \times e^{-\mu}} {x!}$ (44)

ただし $\mu=np$ とする
xlisp
(POISSON-PMF x mu) たとえば n人の集団の中で元旦生まれの人がx人いる確率は、p=1/365として (POISSON-PMF x np)で計算される。
(POISSON-CDF x mu) ポワソン分布の累積分布関数
(POISSON-RAND k mu) Returns list of K draws from the Poisson(MU) distribution. Vectorized.

分布の標準化

標準化
- 定義
- 数式
  
  $\displaystyle 標準得点(z得点) = \frac{測定値 - 平均値} {標準偏差}$ (45)
偏差値
- 定義
- 数式
  
  $\displaystyle 偏差値 = 50 + (標準得点 \times 10)$ (46)

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Akimichi Tatsukawa
2001-04-13

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