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検定理論

$\origin{IntroductionToProbabilityAndStatistics}{p.267}$ , $\origin{Lisp-Statによる統計解析入門}{p.112}$ , $\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.4}$ , $\origin{統計入門}{p.206}$ , $\origin{新しい疫学}{p.120}$ , $\origin{疫学}{p.235}$ , $\origin{医学統計学ハンドブック}{p.596}$

概念
検定とは、標本を基準として母集団の特徴や状態について何らかの仮説を設け、その妥当性を標本データをもとに確率論的に検証する方法である。
- 帰無仮説 null hypothesis
  帰無仮説を前提として矛盾が導かれた場合に、「差がある」とする仮説(対立仮説)を立証するために、仮定される。
  2群の間の測定値を比較する場合は、両者の測定値に「差がない」とする仮説が帰無仮説となる。
- 対立仮説 alternative hypothesis
  両群の測定値に差があるとする仮説。
- 有意水準,危険率 level of significance
  帰無仮説が正しいのに、それを誤って否定する確率を指す。医学の分野では、5% とされる。
  仮説Hの下における確率の小さい事象、つまり仮説に対して疑いを持つような事象を有意な事象という。有意な事象に伴う確率の大きさを有意水準という。通常は0.05を採用する。
  すなわち第1種の誤りをどこまで許容するかのガイドライン。
- P値 P-value
  検定結果が有意になる場合の有意水準。
分類
- 片側検定
- 両側検定
  左右対称な確率密度関数で中心より等距離の外側の確率を計算して、P値とする検定。
- パラメトリック検定 parametric test
  母集団の分布型に対して一定の仮定をおき、それに基づいて仮説検定を行う。
- ノンパラメトリック検定 non-parametric test
  母集団の分布型に対して特定の仮定をおく必要がないもの。すなわち母数によらない統計。
仮説検定の手順
1. 仮説の設定
  「2群に差がない」とする帰無仮説H0を設定する。
2. 統計量Xの計算
  検定しやすいように標本データを一つの数値に要約する。このときどのような統計量にするかによって検定法が分れる。
3. 確率の算出
  帰無仮説のもとで、統計量Xが生じる確率Pを計算する。
4. 判定
  - 統計量Xを生じる確率Pが、有意水準αよりも大きければ、
    その程度の差は起こりうるので、帰無仮説を棄却できない。
  - 統計量Xを生じる確率Pが、有意水準αよりも小さければ
    そのようなことは起こりにくいと考えて、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採用する。
検定の誤り
- 第1種の誤り
  帰無仮説は正しいのに、たまたま確率の小さな事象が生じたために、帰無仮説を棄却する誤り。
- 第2種の誤り
  帰無仮説は正しくないのに、算出された確率が小さくないために、帰無仮説を受容してしまう誤り。

有意性検定 significance test

$\origin{医学統計学ハンドブック}{p.596}$

仮説検定 hypothesis testing

$\origin{医学統計学ハンドブック}{p.596}$

二項検定

$\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.18}$

χ2乗検定 chi-square test

$\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.130}$ , $\origin{疫学と疫学モデル}{p.236}$ , $\origin{疫学}{p.242}$ , $\origin{統計入門}{p.167}$ , $\origin{StatisticalMethodsInEpidemiology}{p.10,}$

概念
χ2乗検定は2つ以上の群間の頻度や比率を比較する際に用いられる検定法である。なおz検定はχ2乗検定と同等のP値を算出する。

$\displaystyle \chi^2 = \sum{\frac{(Observed Frequency - Expected Frequency)^2} {Expected Frequency}}$ (47)
例示
次のような観察データあるとする。

心筋梗塞対照群

経口避妊薬暴露 10 5 15

非暴露 10 35 45

20 40 60

仮説 H0: 「経口避妊薬と心筋梗塞のあいだには何ら関係はない」とたてる。
ここで全体として心筋梗塞に陥る確率は 20/60=1/3 だから、したがって仮説 H0 のもとで表を再作成すると

心筋梗塞対照群

経口避妊薬暴露 5 10 15

非暴露 15 30 45

20 40 60

以上をもとにχ2乗統計量を計算する。
```
(+ (/ (^ (- 10 5) 2) 5)
   (/ (^ (- 5 10) 2) 10)
   (/ (^ (- 10 15) 2) 15)
   (/ (^ (- 35 30) 2) 30)
   )
```

χ2乗適合度検定 chi-square test for goodness of hit

$\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.122}$

χ2乗統計量

$\displaystyle \chi^2 = \sum^k_{i=1} \frac{(観察度数_i - 期待度数_i)^2} {期待度数_i}$ (48)

χ2乗独立性検定

$\origin{バイオサイエンスの統計学}{p.124}$

分散分析 F-test / analysis of variance,ANOVA

$\origin{Lange:Biostatistics.3ed}{p.162}$ , $\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.39}$ , $\origin{統計入門}{p.224}$ , $\origin{統計処理}{p.73}$ , $\origin{IntroductionToProbabilityAndStatistics}{p.535}$ , $\origin{ドブソン:統計モデル入門}{p.87}$

概念
標本群がすべて同一の母集団に由来するものであるか否かを調べるのに用いられる。標本群相互の比較はできない点がt検定と異なる。しかし通常のt検定と異なり、3群以上の標本群を処理できる。

例題

$\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.39}$ に掲載された事例をxlispstatでシミュレートした。母集団は正規分布であり、すべてのサンプルも正規分布から抽出しているので、F値は1に近似するはずである。

(let (
      (result 0)
      (count 2000)
      (population-size 200)
      (sample-size 7)
      )
  (dotimes (i count result)
    (def population (normal-rand population-size))
    (def control (normal-rand sample-size))
    (def spaghetti (normal-rand sample-size)) 
    (def steak (normal-rand sample-size))
    (def fruit (normal-rand sample-size))
    (def var-within (/ (+ (variance control) (variance spaghetti) (variance steak) (variance fruit))
                       4))
    (def var-between (* sample-size
                        (variance (list (mean control) (mean spaghetti) (mean steak) (mean fruit)))))
    (def f-value (/ var-between var-within))
    (setf result (+ result f-value))
    )
  (/ result count)
  )

t検定 t-test

$\origin{Lange:Biostatistics.3ed}{p.133}$ , $\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.65}$ , $\origin{Lisp-Statによる統計解析入門}{p.115}$ , $\origin{統計処理}{p.80}$

概念
平均に関して2標本群相互の比較を行なう検定法。標本サイズの異なる群の比較にも利用できる。ただしそのままでは3群以上の標本群の中でそれぞれ2群を比較することはできない。
t統計量
t統計量は2つの平均値の比較に用いられる。

$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{differenece of sample means}{standard error of difference of sample means}$ (49)

$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{X_1の平均 - X_2の平均}{\sqrt{X_1の標準誤差 + X_2の標準誤差}}$ (50)

$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{X_1の平均 - X_2の平均} {\sqrt{X_1の標準偏差/X_1の標本数 + X_1の標準誤差/X_2の標本数}}$ (51)

t統計量は標本群が別々の母集団から抽出されたものであるときに大きな値を取る。
種類
- paired t-test(1標本t検定)
- unpaired t-test
  2群の標本サイズが異なる場合に用いるt統計量。
  
  $\displaystyle t = \frac{X_1 の平均 - X_2 の平均} {\sqrt{(s^2/n_1) + (s^2/n_2)}}$ (52)
  
  ただし s2 は
  
  $\displaystyle s_2 = \frac{(n_1 - 1)s^2_1 + (n_2 - 1)s^2_2}{n_1 + n_2 - 2}$ (53)

Bonferroni t-test

$\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.89}$

Student-Newman-Keuls test, SNK

$\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.93}$

概念
3群以上の標本群の比較に利用される。

$\displaystyle q = \frac{X_Aの平均 - X_Bの平均}{\sqrt{\frac{s^2_{wit}}{2} \times (\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$ (54)

Dunnett's test

$\origin{PrimersOfBiostatistics.4ed}{p.99}$

概念

$\displaystyle q' = \frac{X_Aの平均 - X_Bの平均}{\sqrt{s^2_{wit} \times (\frac{1}{n_con} + \frac{1}{n_A})}}$ (55)

分割法による検定

$\origin{疫学入門}{p.241}$ , $\origin{マグロウヒル疫学}{p.77}$

統計量χ2乗の算出
分布

$\displaystyle 自由度 = (l - 1) \times (m - 1)$ (56)